②A∩BA,A∩BB,即两个集合的交集是其中任一集合的子集;
③A∩A=A,A∩=,即一个集合与其本身的交集是其本身,与空集的交集是空集;
④ABA∩B=A,即若集合A是集合B的子集,则两个集合的交集是集合A,反之亦成立.
⑤(A∩B)∩C=A∩(B∩C),即三个集合的交集满足结合律.
以上性质可通过Venn图来理解和记忆.
【例1-1】已知A={x∈N|x≤5},B={x∈N|x>1},则A∩B等于( ).
A.{1,2,3,4,5} B.{2,3,4}
C.{2,3,4,5} D.{x∈R|1<x≤5}
解析:集合A表示小于或等于5的自然数组成的集合,集合B表示大于1的自然数组成的集合,故A∩B={2,3,4,5}.
答案:C
【例1-2】已知集合M={x|1+x>0},,则M∩N等于( ).
A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>1}
C.{x|-1<x<1} D.{x|x≥-1}
解析:M={x|1+x>0}={x|x>-1},={x|x<1}.
在数轴上画出集合M和N,根据交集的定义,可得M∩N={x|-1<x<1},即图中阴影部分.
答案:C
析规律 求交集的方法
用列举法表示的数集在求交集时,可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素;用描述法表示的数集在求交集时,如果集合是无限集,且直接观察不出或不易得出运算结果,则应把两个集合在数轴上表示出来,根据交集的定义写出结果.此时要注意:①交集是公共部分;②当端点不在集合中时,在数轴上用"空心圈"表示.
【例1-3】已知集合A={2,a-1},B={a2-7,-1},且A∩B={2},求实数a的值.
分析:由A∩B={2}可知,2是集合A与B的公共元素,也就是说,元素2既在集合A中又在集合B中,于是可得a2-7=2且a-1≠2,由此即可求出实数a的值.
解:∵A∩B={2},∴2∈A且2∈B.
∴a2-7=2.∴a=3或a=-3.
当a=3时,集合A中的元素a-1=2,不符合集合中元素的互异性,∴a=3舍去.
当a=-3时,A={2,-4},B={2,-1},符合已知A∩B={2}.
综上所述,a=-3.
2.并集
(1)并集的三种语言
文字语言 由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的并集,记作A∪B(读作"A并B"). 符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B}