证明:设f(x)=tanx-x,x∈(0,).

∴f′(x)==tan2x＞0.

∴f(x)在(0,)上为增函数.

又∵f′(0)=0且f(0)=0,

∴当x∈(0,)时,f(x)＞f(0)恒成立,即tanx-x＞0.

∴tanx＞x.

【例4】(2006高考全国Ⅱ，理20)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

思路分析:依据f(x)≥ax,可以设出一新函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,再求出其单调区间,然后利用其单调区间内函数的单调性讨论实数a的取值范围.

解法一:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,

对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a,

令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,

(i)当a≤1时,对所有x＞0,g′(x)＞0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,

又g(0)=0,所以对所有x≥0,都有g(x)≥g(0),

即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.

(ii)当a＞1时,对于0＜x＜ea-1-1,g′(x)＜0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,又g(0)=0,所以对0＜x＜ea-1-1,都有g(x)＜g(0),

即当a＞1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.

综上,a的取值范围是(-∞,1].

解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,

于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.

对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a,

令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,

当x＞ea-1-1时,g′(x)＞0,g(x)为增函数,

当-1＜x＜ea-1-1,g′(x)＜0,g(x)为减函数,

所以对所有x≥0都有g(x)≥g(0)成立的充要条件为ea-1-1≤0.

由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].

【例5】(2007陕西高考，理11) f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）

A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)

C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)

思路分析:本题运用了三个知识点：(1)复合函数的求导法则；(2)导函数的正负对原函数单调性的影响；(3)不等式的传递性.

∵xf′(x)+f(x)≤0,∴f′(x)≤≤0.

∴f(x)单调递减.

∴,