类型一　向量共线问题

例1　(1)已知向量a，b，且\s\up6(→(→)＝a＋2b，\s\up6(→(→)＝－5a＋6b，\s\up6(→(→)＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D B．A，B，C

C．B，C，D D．A，C，D

(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知\s\up6(→(→)＝e1＋ke2，\s\up6(→(→)＝5e1＋4e2，\s\up6(→(→)＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.

答案　(1)A　(2)1

解析　(1)因为\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3\s\up6(→(→)，故\s\up6(→(→)∥\s\up6(→(→)，又\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)有公共点A，

所以A，B，D三点共线．

(2)因为\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＝7e1＋(k＋6)e2，

且\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)共线，故\s\up6(→(→)＝x\s\up6(→(→)，

即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，

故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，

又∵e1，e2不共线，

∴解得故k的值为1.

反思与感悟　(1)判断向量共线的策略

①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.

②判断向量共线的关键：找到实数λ.

(2)证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．

①存在实数λ，使\s\up6(→(→)＝λ\s\up6(→(→)成立．

②对空间任一点O，有\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)＋t\s\up6(→(→)(t∈R)．