2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第三章 3．2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式 Word版含解析-302edu教育资源网

　　，

　　∵k≥2，∴2≥.

　　∴k2－k－1＝2－≥1>0.

　　∴>0.

　　∴＋＋...＋>1.

　　∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

　　由(1)、(2)可知，对一切的n≥2，且n∈N＋，此不等式都成立．

　　利用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形，为满足题目的要求，往往要采用"放缩"等手段，例如在本题中采用了">，...，>"的放缩变形．

　　1．证明不等式：

　　1＋＋＋...＋<2(n∈N＋)．

　　证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即

　　1＋＋＋...＋<2.

　　∵当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋...＋＋<2 ＋＝，

　　现在只需证明<2，

　　即证：2<2k＋1，

　　两边平方，整理：0<1，显然成立．

　　∴<2成立．

　　即1＋＋＋...＋＋<2成立．

　　∴当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立.

获取资源