活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.

图3

解:如图3,分别作向量、、,过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线AC上,猜想A、B、C三点共线.

事实上,因为=-=a+2b-(a+b)=b,

而=-=a+3b-(a+b)=2b,

于是=2.

所以A、B、C三点共线.

点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的独特新颖.

例3 如图4,ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示、、和吗?

图4

活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.

解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b,

又∵平行四边形的两条对角线互相平分,

∴=-==-(a+b)=-a-b,

==(a-b)=a-b,