则当n＝k＋1时ak＋1＝(已知)

＝(代入假设)

＝(变形)

＝(目标)

即当n＝k＋1时，结论也成立．

由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝成立．

思考3　你能否总结出上述证明方法的一般模式？

答　一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

上述证明方法叫做数学归纳法．

思考4　用数学归纳法证明1＋3＋5＋...＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．

证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．

(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋...＋(2k－1)＝k2，

则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋...＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．

由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．

答　证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．

探究点二　用数学归纳法证明等式

例1　用数学归纳法证明

12＋22＋...＋n2＝(n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，