所以AB的斜率kAB==.

因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,

代入②得x2+4x+8-2b2=0.

所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|==.

由|AB|=,得=,解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.

教师用书专用(4)

4.(2018辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=　　　　.

答案　12

考点二　椭圆的几何性质

1.(2018浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是(　　)

A. B. C. D.

答案　B

2.(2018课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案　A

3.(2018课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为　(　　)

A. B. C. D.

答案　A

4.(2018浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a>1).

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);

(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

解析　(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,

由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,

故x1=0,x2=-.

因此|AP|=|x1-x2|=·.

(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.

记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.

由(1)知,|AP|=,|AQ|=,

故=,

所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.

由于k1≠k2,k1,k2>0得1+++a2(2-a2)=0,

因此=1+a2(a2-2),①

因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

由e==得,所求离心率的取值范围为0

教师用书专用(5-9)

5.(2018浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)