考点三　直线与抛物线的位置关系

1.(2018课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)

A. B. C. D.

答案　D

2.(2018辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(　　)

A. B. C. D.

答案　D

3.(2018北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(2)求证:A为线段BM的中点.

解析　(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.

所以抛物线C的方程为y2=x.

抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.

(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).

由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.

则x1+x2=,x1x2=.

因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.

因为y1+-2x1=

===0,

所以y1+=2x1.

故A为线段BM的中点.

教师用书专用(4-5)

4.(2018江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).

(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);

②求p的取值范围.

解析　(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,

由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.

所以抛物线C的方程为y2=8x.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).

因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,

于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.