类型一　合情推理的应用

例1　(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，...，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；...，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________．

答案　f(n)＝n3

解析　由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，

13＋15＋17＋19＝64＝43，...，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.

(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则

①a2＋b2＝c2；

②cos2A＋cos2B＝1；

③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明．

解　选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．

①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.

②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.

下面对①的猜想进行证明．

如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面．

设AB＝a，AC＝b，AD＝c，

则在Rt△ABC中，BC＝＝，SRt△ABC＝ab.

同理，CD＝，SRt△ACD＝bc.

BD＝，SRt△ABD＝ac.