§5 从力做的功到向量的数量积

知识梳理

1.两个向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量a，b，如图2-5-1所示，作=a，=b，则∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.

图2-5-1

(2)范围：［0,π］，〈a，b〉=〈b，a〉.

(3)当〈a，b〉=时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.

(4)当〈a，b〉=0时，a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向.

2.向量的射影

图2-5-2

已知向量a和b，如图2-5-2所示，作=a，=b,过点B作的垂线，垂足为B1，则1的数量|b|cosθ 叫做向量b在向量a方向上的正射影（简称射影）.

3.向量的数量积（内积）

（1）定义：|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.

（3）几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积，或看作是b的长度｜b｜与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积.

4.向量数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

（1）e·a=a·e=|a|cos〈a，e〉.

（2）a·ba·b=0.

（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|；特别地：a·a=|a|2或|a|=.

（4）cos〈a，b〉=.

（5）|a·b|≤|a||b|.

5.向量数量积的运算律

交换律：a·b=b·a；结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）(λ∈R)；

分配律：（a＋b）·c=a·c＋b·c.

知识导学

1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.