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所以当n＝k＋1时，等式也成立.

由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.

题型二　用数学归纳法证明整除性问题

【例2】 已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

【解析】 由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.

则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，

由假设知3[(2k＋7)·3k＋9]能被36 整除，又3k－1－1是偶数，

故18(3k－1－1)也能被36 整除.即n＝k＋1时结论也成立.

故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除.

由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.

【点拨】 与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明. 在证明n＝k＋1结论也成立时，要注意"凑形"，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.

【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.

【证明】方法一：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.

由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，

所以n＝k＋1时命题也成立.

根据①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.

方法二：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得

根据①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.

题型三　数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用

【例3】(2013山东模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.

(1)求r的值；

(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求证：对任意的n∈N*，不等式·

·...·＞成立.

【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，

所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数).

当n＝1时，a1＝S1＝b＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1.

又数列{an}为等比数列，故r＝－1且公比为b.

(2)当b＝2时，an＝2n－1，

所以bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n(n∈N*)，