当且时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只有一个公共点

当时，常数项为，所以恒成立，此时直线与双曲线相交

当或时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：

① 方程有两个不同实根直线与双曲线相交

② 方程有两个相同实根直线与双曲线相切

③ 方程没有实根直线与双曲线相离

注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切

（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当时，点位于双曲线的右支；当时，点位于双曲线的左支。对于方程：

，设两个根为

① 当时，则，所以异号，即交点分别位于双曲线的左，右支

② 当或，且时，，所以同号，即交点位于同一支上

（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定

① 且时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点

② 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线