又∵＝，

∴≤(当且仅当a＝b时取等号)．

题型二　用均值不等式证明不等式

例2　已知x，y都是正数．

求证：(1)＋≥2；

(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.

证明　(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，

∴＋≥2 ＝2，即＋≥2，

当且仅当x＝y时，等号成立．

(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，

x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0，

∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)

≥2·2·2＝8x3y3，

即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，

当且仅当x＝y时，等号成立．

反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以"已知"看"可知"，逐步推向"未知"．

(2)注意事项：

①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．

跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.

证明　∵a，b，c都是正实数，

∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，