那么当n＝k＋1时，依题意，

第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，

所以平面上净增加了2k个区域．

所以f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k

＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，

即当n＝k＋1时，命题成立．

由①②知命题成立．

类型三　归纳-猜想-证明

例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝.

(1)求a2，a3；

(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．

解　(1)a2＝＝，a1＝，

则a2＝，同理求得a3＝.

(2)由a1＝，a2＝，a3＝，...，

猜想an＝.

证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立；

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，

即ak＝，

那么当n＝k＋1时，由题设an＝，

得ak＝，ak＋1＝，

所以Sk＝k(2k－1)ak

＝k(2k－1)＝.

Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，

因此，k(2k＋3)ak＋1＝，