空间向量运算的坐标表示

知识点一 空间向量的坐标运算

　　设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．

　　(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；

　　(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.

　　解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.

　　(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.

　　【反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b⇔x1＝λx2且y1＝λy2，且z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

　　已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：

　　(1)线段AB的中点坐标和长度；

　　(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．

　　解 （1）设M是线段AB的中点，则＝(\s\up6(→(→)＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))＝(2，，3)，所以线段AB的中点坐标是(2，，3)．

　　|AB|＝＝.

　　(2)点P(x，y，z)到A，B两点距离相等，则

　　＝，

　　化简，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.

知识点二证明线面的平行、垂直

　　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，

　　求证：D1F⊥平面ADE.

证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），D1（0，0，2），所以