例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数

　　解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x

　　令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0

　　∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

　　当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

　　令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．

　　∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．

　　例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数．

　　证法一：（用以前学的方法证）

　　证法二：（用导数方法证）

　　∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0． ∴f′(x)＜0，

　　∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。

　　点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

　　例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．

　　解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)

　　=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)

　　令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜． ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)

　　令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1．

　　∵为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)

例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．

　　分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。

　　证明：令f(x)=e2x－1－2x． ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)

　　∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0

∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。