题型一　常见推论的证明

例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，

∴a2＋b2≥2ab．

引申探究

1．求证≥(a＞0，b＞0)．

证明　方法一　－＝[()2＋()2－2· ]＝· (－)2≥0，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．

方法二　由例1知，a2＋b2≥2ab．

∴当a＞0，b＞0时有()2＋()2≥2，

即a＋b≥2，≥．

2．证明不等式2≤(a，b∈R)．

证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，

两边同除以4，即得2≤，当且仅当a＝b时，取等号．

反思感悟　(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．

(2)不等式a2＋b2≥2ab和均值不等式≤成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．

跟踪训练1　当a＞0，b＞0时，求证：≤.

证明　∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞0，

∴≤，∴≤＝．