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类型一 数列中的类比推理
例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,成等比数列.
答案
解析 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性:
设等比数列{bn}的公比为q,首项为b1,
则T4=bq6,T8=bq1+2+...+7=bq28,
T12=bq1+2+...+11=bq66,
T16=bq1+2+...+15=bq120,
∴=bq22,=bq38,
=bq54,
即()2=·T4,()2=·,
故T4,,,成等比数列.
反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质,在类比过程中也有一些规律,如下表所示的部分结论(其中d,q分别是公差和公比):
等差数列 等比数列 定义 an-an-1=d(n≥2) an÷an-1=q(n≥2) 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 性质 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 若m+n=p+q,则am·an=ap·aq