类型一 曲线与方程的概念
例1 命题"曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解"是正确的,下列命题中正确的是________.(填序号)
①方程f(x,y)=0的曲线是C;
②方程f(x,y)=0的曲线不一定是C;
③f(x,y)=0是曲线C的方程;
④以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
答案 ②
解析 不论方程f(x,y)=0是曲线C的方程,还是曲线C是方程f(x,y)=0的曲线,都必须同时满足两层含义:曲线上的点的坐标都是方程的解,以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以①,③,④错误.
反思与感悟 解决"曲线"与"方程"的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线),只要一一检验定义中的"两性"是否都满足,并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上,就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
跟踪训练1 设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题"坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上"是不正确的,给出下列命题:
①坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上;
②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0;
③坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上;
④一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0.
其中判断正确的是________.(填序号)
答案 ④
解析 "坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上"不正确,即"坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上"是正确的."不都在"包括"都不在"和"有的在,有的不在"两种情况,故①③错,②显然错.
类型二 点与曲线的位置关系
例2 方程(x-4y-12)[(-3)+log2(x+2y)]=0表示的曲线经过点A(0,-3),B(0,4),C,D(8,0)中的________个.