左边＝＋＋...＋＋

　　＝＋

　　＝

　　＝

　　＝，

　　∴当n＝k＋1时，等式也成立．

　　由(1)(2)知对任意n∈N＋，等式成立．

用数学归纳法证明整除问题 　　[例2]　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N＋)．

　　[证明]　(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1，可被a2＋a＋1整除．

　　(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，

　　则当n＝k＋1时，

　　ak＋2＋(a＋1)2k＋1

　　＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1

　　＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1

　　＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，

　　由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，

　　所以ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，

　　即n＝k＋1时命题也成立．

　　由(1)(2)可知命题对所有n∈N＋都成立．

　　利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到"添项""减项""因式分解"等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．

　　3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．

　　证明：(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．

　　(2)假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，

[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1