④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.

⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?

讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、...)展开整理而得到的.

②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.

③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.

④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.

因此式子(x+)2+(y+)2=.

(ⅰ)当D2+E2-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；

(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);

(ⅲ)当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.

综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F＞0.

我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.

⑤圆的一般方程形式上的特点:

x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.

圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.

与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.

应用示例

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.

(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;

(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.