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【例1】求顶点在原点,以x轴为对称轴,且通径长为8的抛物线方程,并指出它的焦点坐标和准线方程.

解析:抛物线的通径长为2p,焦点在x轴的哪一个半轴上未确定.故可设抛物线方程为y2=2px(p≠0),但此时通径长应为|2p|,若不按此设法,需讨论.

解:设抛物线方程为y2=2px(p≠0),

因为抛物线通径长为8,

所以|2p|=8.

所以p=±4.

故所求抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.

若抛物线方程为y2=8x,则焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2;若抛物线方程为y2=-8x,则焦点坐标为(-2,0),准线方程为x=2.

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求抛物线方程一般要用待定系数法.需先设出方程,若只知道焦点在x轴上,但不能确定开口方向时,把两种情况统一设为y2=2px(p≠0)较方便.只要写出方程,就可顺利求出焦点坐标与准线方程.

变式训练

1.一抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求此抛物线方程.

解:如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p＞0),则直线方程为y=-x+p.

设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,

即x1++x2+=8.①

又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,

由

消去y得x2-3px+=0,

所以x1+x2=3p.将其代入①得p=2.

所以所求抛物线方程为y2=4x.

当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.

【例2】给定抛物线y2=2x,设A(a,0)(a＞0),P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.

解析:要求d的最小值,首先应构造d的目标函数d=f(x),此函数定含参数a,对参数a的取值