∴a的值为.

题型二　导数与函数的单调性

求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．

特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用"和"或"，"隔开，绝对不能用"∪"连接．

例2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；

(2)f(x)＝x(x－a)2.

解　(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，

∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．

(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，

由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.

①当a>0时，x1

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，

单调递减区间为(，a)．

②当a<0时，x1>x2，

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，

单调递减区间为(a，)．

③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的．

综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，单调递减区间为(，a)；

a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，单调递减区间为(a，)；

a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．