2.求曲边梯形的面积的步骤
求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为:
→→→
定积分
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区间长度为Δx,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,...,xi,...,xn,作和Sn=f(x1)Δx+f(x2)Δx+...+f(xi)Δx+...+f(xn)Δx.
如果当Δx→0(亦即n→+∞)时,Sn→S(常数),那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.记为S=f(x)dx.
其中,f(x)称为被积函数,[a,b]称为积分区间,a称为积分下限,b称为积分上限.
定积分的几何意义
问题1:试利用定积分的定义计算xdx的值.
提示:将区间[0,1]等分成n个小区间,则第i个小区间为,第i个小区间的面积为
ΔSi=f·=·,
所以Sn=Si=·=(1+2+3+...+n)
=·=+,
当n→+∞时,Sn→,所以xdx=.
问题2:直线x=0,x=1,y=0和函数f(x)=x围成的图形的面积是多少?
提示:如图,S=×1×1=.
问题3:以上两个问题的结果一样吗?
提示:一样.
问题4:以上问题说明了什么道理?