5．函数的单调性、极值与导数

(1)函数的单调性与导数

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

(2)函数的极值与导数

①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；

②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．

(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

6．微积分基本定理

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．

7．定积分的性质

(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)．

(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx.

(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)

2．函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　×　)

3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0.(　√　)

类型一　导数几何意义的应用

例1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．

(1)求a的值；

(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．

考点　求函数在某点处的切线方程

题点　求曲线的切线方程