图1­3­9

　　(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

　　(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

　　【精彩点拨】　弄清题意，根据"侧面积＝4×底面边长×高"和"体积＝底面边长的平方×高"这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．

　　【自主解答】　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.

　　由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.

　　(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

　　所以当x＝15时，S取得最大值．

　　(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．

　　由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.

　　当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.

　　所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

　　此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.

　　1．解决面积、体积最值问题的思路

　　要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

2．解决优化问题时应注意的问题