证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．

　　(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即1＋22＋33＋...＋kk<(k＋1)k，

　　那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋...＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，

　　即当n＝k＋1时不等式也成立．

　　根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N＋都成立

　　.

归纳--猜想--证明 　　

　　[例3]　已知数列，，，...，，....

　　设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．

　　[精解详析]　S1＝＝，

　　S2＝＋＝，

　　S3＝＋＝，

　　S4＝＋＝，

　　可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.

　　下面用数学归纳法证明：

　　(1)显然当n＝1时，S1＝＝成立．

　　(2)假设当n＝k时，等式成立，即Sk＝.

　　则当n＝k＋1时，

　　Sk＋1＝Sk＋

＝＋