bk＋1＝＝(k＋2)2.

　　所以当n＝k＋1时， 结论也成立．

　　由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．

　　5．判断是否存在一组常数a，b，c使等式12＋22＋32＋...＋n2＋(n－1)2＋...＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a，b，c的一组值并证明；若不存在，试说明理由．

　　解：假设存在a，b，c使12＋22＋32＋...＋n2＋(n－1)2＋...＋22＋12＝an(bn2＋c)，对于一切n∈N＋都成立．

　　当n＝1时，a(b＋c)＝1；

　　当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；

　　当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.

　　由方程组可解得

　　证明如下：

　　①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．

　　②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，

　　即12＋22＋32＋...＋k2＋(k－1)2＋...＋22＋12

　　＝k(2k2＋1)；

　　当n＝k＋1时，

　　12＋22＋32＋...＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋...＋22＋12

　　＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2

　　＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2

　　＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2

　　＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)

　　＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．

　　即n＝k＋1时，等式成立．

因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．