曲线的参数方程

【学习目标】

　1. 了解参数方程，了解参数的意义。

　2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。

　3. 掌握参数方程与普通方程的互化。

　4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程

【要点梳理】

要点一、参数方程的概念

　　　一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，

即 ，

并且对于的每一个允许值，方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

要点诠释：

　　（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．

　　（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。

要点二、求曲线的参数方程

求曲线参数方程的主要步骤：

　　第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．

　　第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：

　　一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；

　　例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．

　　有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．

　　二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．

要点诠释：

普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．