【题型探究】

题型一　判断函数的单调性

【例1】讨论下列函数的单调性：

(1)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)； (2)f(x)＝(－1

　　【解析】(1)函数的定义域为R.

　　f′(x)＝axlna－a－x·lna·(－x)′＝lna(ax＋a－x)．

　　当a>1时，lna>0，ax＋a－x>0，∴f′(x)>0，

　　∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

　　当00，∴f′(x)<0，

　　∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

　　(2)∵此函数为奇函数，且在(－1,1)上连续，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．

　　当0

　　f′(x)＝b ·

　　＝－.

　　若b>0，则f′(x)<0，函数在(0,1)上是减函数；

　　若b<0，则f′(x)>0，函数在(0,1)上是增函数．

　　又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，

　　∴当b>0时，函数f(x)在(－1,1)上是减函数．

　　当b<0时，函数f(x)在(－1,1)上是增函数．

【评析】在判断含参函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误判断，分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思维在联系知识与能力中的作用，从而提高计算能力．

变式训练 1 　已知f(x)＝(a>0且a≠1)．讨论f(x)的单调性．