双曲线的简单几何性质

学习目标　1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．

知识点一　双曲线的范围、对称性

思考　观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？

(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？

答案　(1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a.

(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．

梳理　(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)，y∈R.双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈R，y∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)．

(2)双曲线的对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点．

知识点二　双曲线的顶点

思考　 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？

(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？

答案　(1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．

(2)是，只有两个顶点．双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．

梳理　双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为(－a,0)，(a,0)；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为(0，－a)，(0，a)．

知识点三　渐近线与离心率