证明：因为=与都是的原函数，故

-=C（）

其中C为某一常数。

令得-=C，且==0

　　即有C=，故=+

　　 =-=

　　令，有

　　此处并不要求学生理解证明的过程

　　　　为了方便起见，还常用表示，即

　　 该式称之为微积分基本公式或牛顿-莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响.

4、应用

　　例1．计算下列定积分：

　　（1）； （2）。

解：（1）因为，

所以。

　　　　　　（2））因为，

　　　　　　　　　所以。

　　练习：计算

　　　　　解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿-莱布尼兹公式有

　　 ===

　　例2．计算下列定积分：

。

　　由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。

　　解：因为，所以

　　，

　　，

　　.

　　可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；