立体几何复习小结(2)

一、复习目标：

1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．

2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．

　　3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

　　4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

二、例题分析：

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中．

(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，

∴B1D1∥BD，

又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，

∴BD∥平面B1D1C．

同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，

∴平面A1BD∥平面B1CD．

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．

∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．

∴平面EB1D1∥平面FBD．

说明 要证"面面平面"只要证"线面平面"，要证"线面平行"，只要证"线线平面"，故问题最终转化为证线与线的平行．

小结：

例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．

求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．

∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．

∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．

∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．