2018届高三数学成功在我

专题二 函数与导数

问题六：导数在研究不等式中的创新应用

一、考情分析

　　在高中新课标中,导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等.在新课程背景下,不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值、最值,因此,很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质,从而解决不等式问题.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.

二、经验分享

1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点．学科@网

2.根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解．

(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．

3.利用导数研究含参数函数的单调性问题,常化为不等式恒成立问题,注意分类讨论与数形结合思想的应用；函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

三、知识拓展

1．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值,则

(1)对任意x∈A,f(x)>0⇔f(x)min>0；

(2)存在x∈A,f(x)>0⇔f(x)max>0.

2.利用导数解不等式的思路

(1)已知一个含f′(x)的不等式,可得到和f(x)有关的函数的单调性,然后可利用函数单调性解不等式．

(2)利用导数证明不等式的方法

证明f(x)

(3)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．