2018-2019学年北师大版选修4-5 平均值不等式学案-302edu教育资源网

∴＋＋＝＋＋

＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

∴＋＋≥9.

方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1

＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

∴＋＋≥9.

引申探究

1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.

证明　∵a2＋b2≥2ab，

∴≥2a－b.

同理，≥2b－c，≥2c－a.

∴＋＋≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，

∴＋＋≥1，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

2．若本例条件不变，求证：a2＋b2＋c2≥.

证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，

∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac，

即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，

∴2(a2＋b2＋c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac

＝(a＋b＋c)2＝1，

∴a2＋b2＋c2≥，

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