我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．

F(x)＝xnf(x)，

F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；

F(x)＝，

F′(x)＝＝；

结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

我们根据得出的结论去解决例3.

例3　已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．

思路点拨　满足"xf′(x)－nf(x)"形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．

答案　(－1,0)∪(0,1)

解析　构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，所以F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．

(二)利用f(x)与ex构造

1．f(x)与ex构造，一方面是对u·v，函数形式的考察，另外一方面是对(ex)′＝ex的考察．所以对于f(x)±f′(x)类型，我们可以等同xf(x)，的类型处理，"＋"法优先考虑构造F(x)＝f(x)·ex，"－"法优先考虑构造F(x)＝.

例4　已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)

A．f(2)>e2f(0)，f(2019)>e2019f(0)

B．f(2)e2019f(0)

C．f(2)>e2f(0)，f(2019)

D．f(2)

思路点拨　满足"f′(x)－f(x)<0"形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性