空间向量及其运算

【基础知识梳理】

1.理解空间向量的有关概念：空间向量、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量，

共线向量（平行向量）、直线的方向向量、共面向量、向量的夹角、基向量。

2.向量的有关运算：

（1）向量的加法：满足三角形法则、平行四边形法则。满足交换率和结合率。

　（2）向量的数乘运算：，仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。

　（3）向量的数量积：已知非零向量，则叫做的数量积。

3.有关定理及重要结论：

（1）向量共线基本定理：，

（2）空间向量基本定理：如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的

　　　　有序实数对{x,y，z}，使得。

不共面的三个向量 都叫做基向量，叫做空间的一个基底。

　（3）两向量夹角的求法：，立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决。

(4) 向量垂直的条件：⊥； （6），即

4.向量的坐标表示：已知两点A(x1,y1，z1),B(x2,y2,z2)，则

向量的坐标是： ,

线段AB的中点M的坐标是 ，

A,B两点间的距离是 。

5.若向量，则

(1) ； （2）；

　(3) ； (4)； (5) ；

(6) ；

（7）⊥；

（8）=

【典型例题分析】

例1.如图，点A,B分别是二面角上的两个半平面上，点AC⊥CD于C,BD⊥CD于D。若已知二面角的大小是，AC=3 ,CD=6, BD=4 .求A,B两点间的距离。