所以1-e2=,e=为所求.

绿色通道

对于有关直线与椭圆的交点问题的解决,通常联立直线与椭圆的方程消去其中的一个未知数,从而利用根与系数间的关系将两个交点的横(或纵)坐标间的关系找到,再利用已知条件解决相关的问题.

变式训练

2.已知椭圆+=1(其中a＞b＞0)与直线x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点.

(1)求+的值;

(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤,求椭圆长轴的取值范围.

解析：本题涉及直线与椭圆的交点,对于此类问题往往联立它们的方程消去其中的一个未知数,再利用根与系数间的关系,得到相应的两个交点的坐标间的关系,再结合题目中的其他条件将问题解决.

解:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，由OP⊥OQ,得x1x2+y1y2=0,

∵y1=1-x1,y2=1-x2,

代入x1x2+y1y2=0,得2x1x2-(x1+x2)+1=0,①

又将y=1-x代入+=1,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,x1+x2=,x1x2=，代入①式并化简,得+=2.

(2)由e2==1及已知得≤1≤,≤≤,

又由(1)知b2=,

所以≤≤,≤a2≤,≤a≤,其长轴2a∈［,］.

3.过椭圆C:+=1上点P(x0,y0)向⊙O:x2+y2=4引两条切线PA、PB,其中A、B为切点,且直线AB与x轴、y轴交于M、N两点.

(1)若·=0,求P点坐标;

(2)求直线AB的方程(用x0、y0表示).