【典型例题】

类型一、直线与平面平行的判定

　　例1．已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．

　　【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明AC∥EF．

　　证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF，EG．

　　在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，

　　又AC平面EFG，EF平面EFG，

　　于是AC∥平面EFG．

　　同理可证BD∥平面EFG．

　　【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．

　　例2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图．求证：PQ∥平面CBE．

　　证明：作PM∥AB交BE于点M，QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN．

　　∴，．

　　∵AP=DQ，∴EP=BQ．

　　又∵AB=CD，EA=BD，

　　∴PMQN．

　　∴四边形PMNQ是平行四边形．

　　∴PQ∥MN．

　　综上，PQ平面CBE，MN平面CBE，

　　又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．

　　【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．

　　举一反三：

　　【变式1】如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．

　　（1）证明：EF∥平面PAD；

　　（2）求三棱锥E-ABC的体积V．

【解析】（1）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．

　　又BC∥AD，∴EF∥AD．

　　又∵AD平面PAD，EF平面PAD，

　　∴EF∥平面PAD．

　　（2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，如下图，

　　则EG⊥平面ABCD，且．

　　在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，

∴，．