∵=,

∴将以上两式相加，得2S=（a1+an+1）+（a2+an）+...+（an+1+a1）.

又∵{an}是等差数列，

∴a1+an+1

=a2+an

=a3+a n-1

=...=an+1+a1.

∴2S=（a1+an+1）（++...+）,

∴2S=（2a1+nd）·2n,

∴S=（2a1+nd）·2n-1.

温馨提示

（1）不要误写为;（2）不要误写为（2a1+nd）·2n,像改写成后出现的连锁反应一样.

　　各个击破

类题演练 1

设（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+...+a5x5,求：

（1）a0+a1+a2+a3+a4;

（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;

（3）a1+a3+a5;

（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2.

解析：设f（x）=（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+...+a5x5,则f（1）=a0

+a1+a2+...+a5=1,f（-1）=a0-a1+a2-a3+a4-a5=（-3）5=-243.

（1）∵a5=25=32,

∴a0+a1+a2+a3+a4=f（1）-32=-31.

（2）|a0|+|a1|+|a2|+...+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f（-1）=243.

（3）∵f（1）-f（-1）=2（a1+a3+a5）,

∴a1+a3+a5==122.

（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2

=（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0-a1+a2-a3+a4-a5）=f（1）×f（-1）=-243.

变式提升 1

求（1+2x+x2）10（1-x）5展开式中各项系数的和.

解：（1+2x+x2）10（1-x）5=（1+x）20·（1-x）5

=（+x+x2+...+ x20）［+（-x）1+...+（-x）5］

=A0+A1x+A2x2+A3x3+...+A25x25,

对于x取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1,则

0=A0+A1+A2+A3+...+A 25,

∴展开式中各项系数的和为0.

类题演练 2