3.3　空间向量运算的坐标表示

[学习目标]　1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.

知识点一　空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，

a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，

λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)；

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

|a|＝＝；

cos〈a，b〉＝＝.

知识点三　空间两点间的距离

已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A，B两点间的距离dAB＝|\s\up6(→(→)|＝.

思考　(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？

(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？

答案　(1)空间向量的坐标运算多了个竖坐标.

(2)a∥b⇔＝＝.

题型一　空间直角坐标系与空间向量的坐标表示

例1　设O为坐标原点，向量\s\up6(→(→)＝(1,2,3)，\s\up6(→(→)＝(2,1,2)，\s\up6(→(→)＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)取得最小值时，求点Q的坐标.