空间向量与立体几何(复习二)

【学情分析】：

　　学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍、修正。

【教学目标】：

（1）知识目标：运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。

（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。

（3）情感与能力目标：提高学生的计算能力和空间想象能力。

【教学重点】：。计算空间角。

【教学难点】：计算空间角，角的取舍。

【课前准备】：投影

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、复习

　　1。两条异面直线所成的角，转化为分别与这两条异面直线共线的两个向量的夹角（或补角）。（要特别关注两个向量的方向）

　　2。直线与平面所成的角，先求

直线与平面的法向量的夹角（取锐角）

再求余角。

　　3。二面角的求法：

　　方法一：转化为分别是在二面角的

两个半平面内且与棱都垂直的两条直线

上的两个向量的夹角

（注意：要特别关注两个向量的方向）

如图：二面角α-l-β的大小为θ，

A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l

　　则θ=<, >=<,

　　方法二：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角（或补角）。

　　4。点P到平面的距离：

　　先在内任选一点Q，求出PQ与平面的夹角θ

　　则 这里只用向量解题，没包括传统的解法。

二、实例 例2．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点.

（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；

（2）求异面直线AE与BF所成的角；

（3）求二面角A-BE-F的平面角.

解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，

　又∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面PBC ∴侧面PAC⊥侧面PBC.

（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，

建立空间直角坐标系，由条件可设

（3）平面EFB的法向量=(0,1,1)，

平面ABE的法向量为=（1，1，1）

例3．如图，

正方体ABCD-A1B1C1D1

的棱长为1，E、F

、M、N分别是

A1B1、BC、

C1D1、B1C1的中点.

（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；

（II）求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；

（III）求二面角N-EF-M的平面角的余弦值.

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则有E（，0，1，），F（1，，0），M（，1，1），N（1，，1）. （1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），

∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.

∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.

（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），

∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.

∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.所成角的余弦为零。

（3）二面角M-EF-N的平面角的余弦值为.

此处可引导特色班的学生尝试传统的方法来解题。