创设情景
复习:
1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤:分割→以直代曲→求和→取极限(逼近原理)
2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点.
新课讲授
1. 定积分的概念一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区间长度为,在每个小区间上取一点,作和式:
当n趋于无穷时,上述和式无限趋近于某个常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为:
其中f(x)叫被积函数,x叫做积分变量,[a,b]为积分区间,b积分上限,a积分下限。
说明:(1)定积分是一个常数,即无限趋近的常数(时)称为,而不是.
(2)用定义求定积分的一般方法是:
①分割:等分区间;
②近似代替:取点;
③求和:;
④取极限:
(3)曲边图形面积:;变速运动路程;
变力做功
2.定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上函数连续且恒有,那么定积分表示由直线x=a,x=b,y=0和曲线所围成的曲边梯形的面积。
说明:一般情况下,定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和,在轴上方的面积取正号,在轴下方的面积去负号.
分析:一般的,设被积函数,若在上可取负值。阴影的面积-阴影的面积(即x轴上方面积减轴下方的面积)
3定积分的性质
(1)
(2)
(3) 学做思一:归纳总结
归纳总结定积分的概念,和式无限趋近于某个常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为:;定积分的几何意义;多边形的面积;熟练运用定积分的性质; + +k ]
学做思二:归纳演练
例题示范:利用定积分定义,计算的值
解答:略。