1.归纳推理的特点:
(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具;
(2)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠.
2.类比推理的特点:
(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象;
(2)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠;
(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,类比推理不能作为数学证明的工具.
数与式的归纳 [例1] (1)已知下列各式:
1>,
1++>1,
1++++++>,
1+++...+>2,
...,
请你归纳出一般性结论:______________.
(2)已知f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且n∈N+),则f3(x)的表达式为________,猜想fn(x)(n∈N+)的表达式为________.
[思路点拨] (1)观察左边最后一项分母的特点为2n-1,不等式右边为,由此可得一般结论.
(2)根据关系式,求出前几项的函数值,归纳出一般性结论.
[精解详析] (1)观察不等式左边,各项分母从1开始依次增大1,且终止项为2n-1,不等式右边依次为,,,,...,从而归纳得出一般结论:1+++...+>.