将以上各等式两边分别相加，得

(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋...＋n2)＋3×(1＋2＋3＋...＋n)＋n，

即12＋22＋32＋...＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．

类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋...＋n3的值．

解　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，

34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，

44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，

...；

(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.

将以上各式两边分别相加，得

(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋...＋n3)＋6×(12＋22＋...＋n2)＋4×(1＋2＋...＋n)＋n，

∴13＋23＋...＋n3＝[(n＋1)4－14－6×n(n＋1)·(2n＋1)－4×－n]＝n2(n＋1)2.

反思与感悟　(1)解答本题关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移．

(2)解答此类问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明．

跟踪训练2　在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．

答案　S＝S＋S＋S

解析　由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为S＝S＋S＋S.

类型三　合情推理、演绎推理的综合应用

例3　已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积