2.2 导数的几何意义

自主整理

导数的几何意义

函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的__________,这就是导数的几何意义,即__________.

高手笔记

利用导数求曲线的切线方程.

利用导数的几何意义求曲线的切线方程是求切线方程的另一种非常简捷的方法,其步骤为:(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数,即切线的斜率k=f′(x0);(2)根据直线的点斜式方程得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).

名师解惑

1.利用导数求切线方程与以前利用方程组的解求切线方程的方法有何关系?

剖析:利用导数求切线方程是求切线方程的另一种更简便的方法,以前的方法仍可使用,但值得注意的是曲线的切线是割线的一个极限位置,是曲线局部的性质,而切线与曲线未必只有一个公共点,并且与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线,故以前的方法要慎用.

2.利用导数求切线方程应注意哪些问题?

剖析:(1)若在点(x0,f(x0))处的切线l的倾斜角为,此时切线平行于y轴,斜率不存在,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线方程为x=x0.

(2)求曲线上点P处的切线与求过点P的切线有区别,求曲线上点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P未必是切点,可先求出切点,再求切线方程,两者方法有所不同.

讲练互动

【例1】已知曲线y=x3上一点P(2,),求:

(1)点P处的切线的斜率;

(2)过点P的切线方程.

解析：点P处的导数值就是该点处的切线的斜率,利用点斜式便可求出切线方程.

解：(1)∵f′(2)=

=［3×22+6Δx+(Δx)2］

=4,

∴点P处的切线的斜率等于4.

(2)由直线方程的点斜式,得过点P的切线方程是y=4(x-2),

即12x-3y-16=0.

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本题体现了已知曲线上一点求切线方程的一般方法及步骤:先求该点处的导数,即该点处的切线的斜率,再由点斜式得切线方程.

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