答案　

解析　∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，

当且仅当＝＝时取等号，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，

∴x2＋y2＋z2≥，

即x2＋y2＋z2的最小值为.

(2)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求＋＋的最小值；

解　∵x＋y＋z＝1，

∴＋＋＝(x＋y＋z)≥2＝(1＋2＋3)2＝36.

当且仅当x＝＝，

即x＝，y＝，z＝时取等号．

∴＋＋的最小值为36.

反思与感悟　利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

跟踪训练3　已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.

(1)求a＋b＋c的值；

(2)求a2＋b2＋c2的最小值．

解　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，

又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.

(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得

(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，

即a2＋b2＋c2≥，当且仅当＝＝，