求点的轨迹问题

一、基础知识：

1、求点轨迹方程的步骤：

（1）建立直角坐标系

（2）设点：将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）

（3）列式：从已知条件中发掘的关系，列出方程

（4）化简：将方程进行变形化简，并求出的范围

2、求点轨迹方程的方法

（1）直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可

（2）代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程

（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有：

① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹

直角→圆：若，则点在以为直径的圆上

确定方程的要素：圆心坐标，半径

② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹

确定方程的要素：距离和，定点距离

③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹

注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支

确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离

④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹

确定方程的要素：焦准距：。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程

（4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可