题型二 多维形式的柯西不等式

　　【例2】 已知a1，a2，...，an都是正实数，且a1＋a2＋...＋an＝1.

　　求证：＋＋...＋＋≥.

　　分析：已知条件中a1＋a2＋...＋an＝1，可以看作"1"的代换，而要证的不等式的左边为，，...等数的平方和，所以a1＋a2＋...＋an＝1，应扩大2倍后再利用．本题还可以利用其他的方法证明．

　　反思：通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用．

　　题型三 柯西不等式的综合应用

　　【例3】 设f(x)＝lg，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x)．

　　分析：由题目可获取以下主要信息：①已知f(x)的函数表达式．②变量的取值范围．③证明相关的不等式．解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化，再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．

　　反思：对于较为复杂的证明问题，可采用"分析法"进行推导，从而找到柯西不等式的结构特征．

　　题型四 易错辨析

　　【例4】 已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝9，ax＋by＋cz≤t，求t 的最小值．

　　错解：求t的最小值，即求u＝ax＋by＋cz的最大值．

　　ax≤，by≤，cz≤，三式相加得：

　　ax＋by＋cz≤＋＋＝5，

　　故u＝ax＋by＋cz的最大值为5，从而t的最小值为5.

错因分析：基本不等式得到u＝ax＋by＋cz≤5是正确的，但这只是能说明u的最大值有小于或等于5两种可能，并不能得出u的最大值一定是5.事实上，如果u的最大值为5