＝.

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.

题型一　直线与椭圆的位置关系

例1　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.

解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，

代入＋＝1，

并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，

Δ＝9m2－16(m2－7)＝0

⇒m2＝16⇒m＝±4，

故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，

显然y＝x－4距l最近，

d＝＝＝，

切点为P.

反思与感悟　本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.

跟踪训练1　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.

解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，

联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0，

Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，

解得a＝3或a＝－3，